Rappels et autoévaluation sur les probabilités

Il est possible que vous sentiez le besoin de revoir le texte sur les probabilités avant de lire le présent texte. Dans ce cas, n’hésitez pas à le revoir.

Quelques rappels mathématiques

– $P(A)$ est la probabilité que $A$ se produise (une valeur entre 0 et 1).
– La probabilité que $A$ ne se produise pas est $1-P(A)$ notée $P(\bar A)=1-P(A)$ .
– Si un et un seul des événements $A$ , $B$ et $C$ doit se produire, alors $P(A) + P(B)+ P(C)=1$ .
– $P(A \textrm{ ET } B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ se produisent (notée $P(A \cap B)$ .
– Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\capB)=P(A\textrm{ ET }B)=P(A)P(B)$ . Comme exemple d’événement indépendant, nous avons le lancer d’une pièce de monnaie : la probabilité d’obtenir pile à deux reprises est $0.5 \times 0.5 = 0.25$ (25 %).
– $P(A|B)$ est la probabilité que $A$ se produise étant donné que $B$ s’est produit. On définit $P(A|B)=P(A\textrm{ ET }B)/P(B)= P(A \cap B)/P(B)$ .
– La probabilité que $A$ ne se produise pas étant donné que $B$ s’est produit est $1-P(A|B)=P(\bar A | B)$ .
– En général, $P(A|B)$ n’est pas égal à $P(B|A)$ .
– Le théorème de Bayes énonce que $P(A|B)= P(B|A)P(A)/P(B)$ . Il permet de calculer $P(A|B)$ à partir de $P(B|A)$ .

Activités d’autoévaluation

Question 1

Que vaut $P(A|A)$ ?

Question 2

S’il y a trois états possibles dans le passé, $A$ , $B$ et $C$ , et deux états possibles dans le futur $D$ et $E$ , est-ce que $P(D|A)+P(D|B)+P(D|C)=P(D)$ ?

Question 3

S’il y a trois états possibles dans le passé, $A$ , $B$ et $C$ , et deux états possibles dans le futur $D$ et $E$ , qu’est-ce que $P(D|A)+P(D|B)+P(E|A)+P(E|B)$ ?

Question 4

(Vrai ou faux.) Si $A$ et $B$ sont équiprobables, alors est-ce que $P(A|B)=P(B|A)$ ?

Semaine 7