Rappels et autoévaluation sur les probabilités |
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Quelques rappels mathématiques
– $P(A)$ est la probabilité que $A$ se produise (une valeur entre 0 et 1).
– La probabilité que $A$ ne se produise pas est $1-P(A)$ notée $P(\bar A)=1-P(A)$.
– Si un et un seul des événements $A$, $B$ et $C$ doit se produire, alors $P(A) + P(B)+ P(C)=1$.
– $P(A \textrm{ ET } B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ se produisent (notée $P(A \cap B)$.
– Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\capB)=P(A\textrm{ ET }B)=P(A)P(B)$. Comme exemple d’événement indépendant, nous avons le lancer d’une pièce de monnaie : la probabilité d’obtenir pile à deux reprises est $0.5 \times 0.5 = 0.25$ (25 %).
– $P(A|B)$ est la probabilité que $A$ se produise étant donné que $B$ s’est produit. On définit $P(A|B)=P(A\textrm{ ET }B)/P(B)= P(A \cap B)/P(B)$.
– La probabilité que $A$ ne se produise pas étant donné que $B$ s’est produit est $1-P(A|B)=P(\bar A | B)$.
– En général, $P(A|B)$ n’est pas égal à $P(B|A)$.
– Le théorème de Bayes énonce que $P(A|B)= P(B|A)P(A)/P(B)$. Il permet de calculer $P(A|B)$ à partir de $P(B|A)$.
Activités d’autoévaluation
Question 1
Que vaut $P(A|A)$ ?
Question 2
S’il y a trois états possibles dans le passé, $A$, $B$ et $C$, et deux états possibles dans le futur $D$ et $E$, est-ce que $P(D|A)+P(D|B)+P(D|C)=P(D)$ ?
Question 3
S’il y a trois états possibles dans le passé, $A$, $B$ et $C$, et deux états possibles dans le futur $D$ et $E$, qu’est-ce que $P(D|A)+P(D|B)+P(E|A)+P(E|B)$ ?
Question 4
(Vrai ou faux.) Si $A$ et $B$ sont équiprobables, alors est-ce que $P(A|B)=P(B|A)$ ?
